El álgebra trata con números y las operaciones entre éstos. Su cualidad principal que la distingue de la aritmética es el uso de letras para representar números. A las letras que representan números se les llama literales numéricas o simplemente literales.

En general en el álgebra las letras se usan como variables por que ellas pueden representar diferentes números y los números se denominan constantes.

Considérese ahora que a y b representan números, su producto se escribe usualmente así: ab, sin el signo de multiplicación, aunque también se puede escribir como: a × b o a · b. Por ejemplo, para 5 y la literal numérica c, su producto de se escribe usualmente así: 5c

Las operaciones fundamentales del álgebra son suma, resta o sustracción, multiplicación y división o cociente.

Propiedades Generales Básicas. Algunas propiedades básicas que siempre se deben de tener presente son:

La suma de dos números es la misma cualquiera que sea el orden en que se sumen a + b = b +a	PG1
La suma de tres o más números es la misma cualquiera que sea la forma en que se agrupen: a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c) = (a + c) + b	PG2
El producto de dos números es el mismo cualquiera que sea el orden en que se multipliquen: ab = ba	PG3
El producto de tres o más números es el mismo cualquiera que sea la forma en que se agrupen: abc = (ab)c = a(bc) = (ac)b	PG4
El producto de un número por la suma de otros números es el mismo que la suma de los resultados de multiplicar cada uno de los otros números por el primero (Ley distributiva): a(b + c) = ab + ac	PG5
Cantidades iguales a una misma cantidad son iguales entre ellas. a = c y b = c, entonces a = b	PG6
Si cantidades iguales son sumadas a cantidades iguales, las sumas serán iguales: a = b, entonces a + c = b + c	PG7
Si cantidades iguales son restadas de cantidades iguales, los resultados serán iguales: a = b, entonces a - c = b - c	PG8
Si cantidades iguales son divididas por cantidades iguales diferentes de cero, los cocientes serán iguales: a = b, entonces a ÷ c = b ÷c, con c 0	PG9
Una cantidad puede ser substituida por su igual en expresiones algebraicas.	PG10

Sobre los números negativos

Es necesario revisar este tema, al final de este párrafo hay una liga que conduce a él. Se recomienda estudiar a detalle el mapa conceptual los enteros. Estudiar todo el tema, después regresar a esta página, basta cerrar la ventana del tema de enteros.

A los números negativos

Las expresiones algebraicas están formadas por variables, constantes, signos de agrupación y operaciones como suma, resta, multiplicación, división, elevación a potencia o extracción de raíz. La siguiente es una expresión algebraica.

En este acaso la expresión está formada por cuatro términos. Cuando una expresión está compuesta de partes conectadas por los signos + o - , entonces a cada una de las partes tomada con el signo que le precede (si no hay signo precediendo se le asigna el signo +) se le llama término, término de la expresión algebraica.

Un término puede ser un número o una variable, o un producto o un cociente de números y variables, o la raíz o potencia de estos productos o cocientes, como los del ejemplo anterior.

Cuando un término se forma por la multiplicación de sus partes, una de éstas o cualquier producto de ellas se llama factor del término.

Cualquier factor de un término se llama coeficiente del resto. El coeficiente de la parte literal de un término se llama coeficiente numérico.

En el caso anterior 7a es el coeficiente de bc y 7 es el coeficiente numérico del término.

En la expresión - 9xy, el coeficiente numérico es - 9.

En el caso de la expresión formada por la única literal t, el coeficiente numérico es 1.
Para el caso del término - n, el coeficiente numérico es - 1.

3.1. Términos semejantes

Se llaman términos semejantes a aquellos que ser forman por la multiplicación de las mismas literales con los mismos exponentes (para el concepto de exponente ver el mapa conceptual para los números enteros):

3.2. Una propiedad importante en álgebra es la Ley distributiva

Para los siguientes ejemplos posiblemente requieras revisar la operatividad de números con signo, la siguiente liga conduce al tema: A los números negativos
Aplicación de la ley distributiva:

6(2x + 7y) = 6 · 2x + 6 · 7y = 12x + 42y
Finalmente resulta: 6(2x + 7y) = 12x + 42y

-4(11a + 5c) = -4 · 11a + (-4) · 5c = -44a - 20c
Resultando: -4(11a + 5c) = -44a - 20c

6c(2p - 5s) = 6c · 2p - 6c · 5s = 12cp - 30cs
Por lo tanto: 6c(2p - 5s) = 12cp - 30cs

x(2y - 3z + 4w) = x · 2y - x · 3z + x · 4w = 2xy - 3xz + 4xw
Finalmente: x(2y - 3z + 4w) = 2xy - 3xz + 4xw

En todos los casos es claro como el primer factor de la expresión inicial se distribuye, respetando las reglas de los signos, sobre los sumandos del segundo factor.

3.3. Reducción de términos semejantes

Cuando se suman o se restan términos semejantes se dice que se reducen. Para sumar o restar términos semejantes se suman o se restan sus coeficientes numéricos lo que da el coeficiente del resultado que es un término semejante a los que se redujeron, así:

10a + 3a = (10 + 3)a = 13a
(Notar que se aplica la ley distributiva en sentido contrario)

7s²p³ - 2s²p³ = (7 - 2)s²p³ = 5s²p³

-3abc - 3abc = (-3 - 3)abc = -6abc

Si una expresión algebraica contiene términos en los cuales algunos son semejantes y otros no lo son, la expresión puede simplificarse reduciendo los que sí son semejantes. Por ejemplo:

En todos los casos de este apartado se puede notar en el paso intermedio la aplicación de la ley distributiva en el siguiente sentido:

ba + ca = (b + c)a

3.4. Otros casos de simplificación

Operaciones Algebraicas

4. Suma de polinomios Inicio Polinomio es una expresión algebraica formada por términos que son productos de variables y números o solamente por números y variables, términos relacionados entre si por las operaciones de suma y resta y sin variables en el denominador de ninguno de ellos. Son polinomios: 5x² + 2x - 7 2y - 3x + 5 -8 + a³ - 6a + 11a² No son polinomios: Cuando una de estas expresiones tiene un único término se llama monomio, cuando tiene dos téminos recibe el nombre de binomio y con tres términos es trinomio. Monomios: 5 -3x 9as³ Binomios: b + 4x 4y - 12y³ 6wV - 7 Trinomios: 3 - x + x² 7abc +4ac - b -6s +13 + 2sx   Para sumar polinomios Se ordenan los polinomios Se escriben los polinomios, uno debajo de otro (cada polinomio en una fila diferente), de tal forma, que los términos semejantes queden en la misma columna Se reducen los términos semejantes Se dibuja una línea debajo de la última fila; y debajo de esta línea se escriben los términos, ya reducidos en el paso 3, con sus respectivos signos. Ejemplo 1: Sumar dos polinomios: Procedimiento según los cuatro puntos anteriores: Suma: Nota: Se recuerda que cuando el coeficiente es 1 o -1, no se escriben. En los polinomios del ejemplo c es 1c y -c es -1c   Ejemplo 2: Sumar tres polinomios: Procedimiento: Suma:   Ejercicios: Para cada renglón efectuar la sumas de los polinomios dados. 1. 2. 3.     5. Resta de polinomios Inicio   Para restar polinomios Se identifican tanto el minuendo como sustraendo Se escribe el minuendo con su propio signo y a continuación el sustraendo con signo cambiado. O también, el minuendo en una fila y en la fila inferior el sustraendo, cada término con el signo cambiado y cada término en la misma columna que su semejante. Se reduce la expresión resultante. Se llama minuendo a la cantidad de la que se resta otra cantidad. El sustraendo es la cantidad que se resta. En el subtema Enteros (Ver el mapa conceptual) la operación de resta se define por medio de la operación de suma: a - b = a + (-b), los siguientes casos lo ejemplifican: -5 - 2 = -5 + (-2). En la práctica el sustraendo cambia de signo. 7 - (-4) = 7 + (-(-4)) = 7 + (4). Cambia de signo el sustraendo, pasó de -4 a 4. Esta definición es la que explica el punto dos del procedimiento para restar polinomios. Ejemplo 1: Restar los polinomios: 3a + 2b; 2a - 3b Procedimiento según los tres puntos anteriores: El minuendo es: 3a + 2b El sustraendo es: 2a - 3b La resta se define como suma, cambian los signos del sustraendo: 3a + 2b - (2a - 3b) = 3a + 2b + (-2a + 3b) Se elimina el paréntesis y se reducen términos semejantes: 3a + 2b + (-2a + 3b) = 3a + 2b - 2a + 3b = a +5b Resta: 3a + 2b - (2a - 3b) = a + 5b   Ejemplo 2: Restar los polinomios: 2x -3y menos -x + 2y Procedimiento: El minuendo es: 2x -3y El sustraendo es: -x + 2y La resta se define como suma, cambian los signos del sustraendo: 2x -3y - (-x + 2y) = 2x -3y + (x - 2y) Se elimina el paréntesis y se reducen términos semejantes: 2x -3y + (x - 2y) = 2x - 3y +x - 2y = 3x - 5 Resta: 2x -3y - (-x + 2y) = 3x - 5y   Ejercicios: Para cada renglón efectuar la resta de los polinomios dados. 1. s - g menos g - s 2. -x² + 6 menos x² - 5 x 3. x + y - z menos -x - y + z     6. Multiplicación de polinomios Inicio   Para multiplicar monomios Se multiplican los coeficientes numéricos incluyendo sus signos aplicando las leyes de los signos. Se multiplica la parte literal aplicando la siguiente ley del producto de potencias: "para multiplicar potencias de la misma base, se escribe la base común y se eleva a un exponente igual a la suma de los exponentes de los factores"   Ejemplo 1: Multiplicar dos monomios Procedimiento según los tres puntos anteriores y resultado. El producto de dos números con el mismo signo es un número positivo. Esto se usa al multiplicar -4 por -5, el signo positivo en general no se escribe.   Ejemplo 2: Multiplicar Procedimiento resultado: El producto de dos números con signo diferente es un número negativo. Esto se usa al multiplicar 5 por -6, el signo es negativo.   Para multiplicar monomios por polinomios Se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio, en el siguiente orden: a. se multiplican los coeficientes entre si, teniendo presente la "Ley de los signos" b. se multiplica la parte literal. Cada letra particular representa una base; "el producto de varias potencias con igual base se obtiene escribiendo la base común y sumando los exponentes respectivos. Se ordena el polinomio resultante Ejemplo 1: Multiplicar Procedimiento según los dos puntos anteriores y resultado.   Ejemplo 2: Multiplicar: Procedimiento y resultado:   Ejercicios: Para cada renglón efectuar la multiplicación de los polinomios dados. 1. 2. 3.   Ejercicios para hacer en el cuaderno 1. Evaluar - 5xy cuando x= - 3, y = 4 2. Evaluar 3(x² + 1) donde x = - 5 3. Multiplicar - 4(2x - 6) 4. Multiplicar 2(x - y) 5. Reducir términos semejantes: 8x - 5x 6. Reducir términos semejantes: -3x + 2 -5y - 6x + 8 7. Reducir términos semejantes: 5(x - 3) + 7x -8 8. Reducir términos semejantes: -5a + 2b - 7c + 6c - 3b +3a 9. Reducir términos semejantes: 7(3x - 8) + 2(x - 5) 10. Encontrar la temperatura en grados Celsius ( °C) cuando la temperatura en grados Fahrenheit es de 86°. Use C = 5/9(F - 32)   Ir al inicio